Forum / Sonstiges / Gleichungen mit Klammern

Anders formuliert: Nehmen wir eine Gleichung ax²+bx+c=0. Die Lösungen, also die Nullstellen der Parabel, gibt die Mitternachtsformel. Jetzt macht man a immer kleiner, bis a irgendwann 0 ist. Wieso sollen dann auf einmal beide Lösungen verschwinden und nicht mehr definiert sein?

Die Lösung verschwindet nicht, sie ist nur über diesen Lösungsweg nicht mehr definiert, weil er ein fehlendes x² nicht vorsieht,

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Rifleman

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Geschrieben am: 16.10.2013 um 18:10 Uhr
Zuletzt editiert am: 16.10.2013 um 18:11 Uhr

Zitat von 39:

Die Lösung verschwindet nicht, sie ist nur über diesen Lösungsweg nicht mehr definiert, weil er ein fehlendes x² nicht vorsieht,

Doch, das muss er. Schließlich wird bei der Herleitung der Formel nirgends verwendet, dass a nicht 0 sein darf.
Gut, dann lös ich das mal auf:
Man kann die Mitternachtsformel schreiben als
x1/2 = -b/2a +- sqrt( (b²/4a²) - (c/a) )
Gesucht sind die Grenzwerte für a->0. Das ist in dieser Form schwer zu machen, weil alle Terme unendlich werden. Daher formt man um:
x1/2 = -b/2a +- (b/2a)*sqrt( 1 - (4ac/b²) )
Da a gegen 0 gehen soll ist der 2. Term unter der Wurzel klein, also kann man entwickeln:
sqrt(1-x) = 1 - x/2 + O(x²)
Nach der ersten Ordnung kann man abbrechen, da der Vorfaktor mit 1/a geht.
Also bekommt man:
x1/2 = -(b/2a) +- [ b/2a - c/b ]
Jetzt sieht man die Lösungen: Die erste ist -c/b, was genau der Lösung für die Gerade entspricht. Die zweite geht nach plus oder minus unendlich.
Und weil die 2. Nullstelle im unendlichen liegt sieht die Parabel aus wie eine Gerade.
Naja, so gelangweilt war wohl doch niemand....

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Wasserhase

- 36
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Geschrieben am: 16.10.2013 um 23:47 Uhr

Zitat von Rifleman:

Zitat von 39:

Die Lösung verschwindet nicht, sie ist nur über diesen Lösungsweg nicht mehr definiert, weil er ein fehlendes x² nicht vorsieht,

Doch, das muss er. Schließlich wird bei der Herleitung der Formel nirgends verwendet, dass a nicht 0 sein darf.

Ups, da wäre ich jetzt grad vorsichtig. Die Mitternachtsformel erhält man über eine quadratische Ergänzung mit (b/2a)^2. Die kannst du nicht so einfach machen, wenn a von vornherein 0 ist.

Dein Taylor für die Grenzwertbetrachtung ist aber schon etwas sparsam, Mathematik begründet man nicht mit Näherungen. Für die + Lösung der Mitternachtsformel kannst du einfach die l'Hospitalschen Regeln verwenden, das führt einfach auf -c/b.
Die - Lösung geht offensichtlich gegen unendlich, das ist aus deiner ersten Form schon ersichtlich.

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Rifleman

- 40
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Geschrieben am: 17.10.2013 um 00:10 Uhr
Zuletzt editiert am: 17.10.2013 um 00:21 Uhr

Zitat von Wasserhase:

Ups, da wäre ich jetzt grad vorsichtig. Die Mitternachtsformel erhält man über eine quadratische Ergänzung mit (b/2a)^2. Die kannst du nicht so einfach machen, wenn a von vornherein 0 ist.

Ja, stimmt natürlich. Sonst bräuchte man den Grenzwert gar nicht.

Zitat von Wasserhase:

Dein Taylor für die Grenzwertbetrachtung ist aber schon etwas sparsam, Mathematik begründet man nicht mit Näherungen. Für die + Lösung der Mitternachtsformel kannst du einfach die l'Hospitalschen Regeln verwenden, das führt einfach auf -c/b.
Die - Lösung geht offensichtlich gegen unendlich, das ist aus deiner ersten Form schon ersichtlich.

Auch richtig. Der Taylor ist allerdings kein Problem. Wenn man das O(x²) mitnimmt und dann den limes ausführt ist das exakt.

/edit:
Das Ganze ist natürlich kein ernsthaftes mathematisches Problem. Es war mehr zur Unterhaltung gedacht...

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