Forum / Sonstiges / Momentane Änderungsrate bei Funktionen 3. Grades

Hallo, ich hätte da mal eine Frage dazu.
Im Unterricht haben wir nur gelernt, wie das bei Funktionen 2. Grades funktioniert

Die Formel lautet ja f(x0+h) - f(x0) / h

Hat man also zB die Funktion f(x)=3/4x² - 3x mit x0=3, so erhält man
f(3+h) - f(3) / h
= (3+h)² - (-2,25) / h
= 3²+6h+h²+2,25 / h
= 11,25+6h+h² / h
= 11,25+6+h
= 17,25+h
--> lim 17,25+h = 17,25

somit ist die Momentane Änderungsrate im Punkt x0=3 17,25

Jetzt zu meiner Frage: Wie funktioniert das bei Funktionen 3. Grades?

Vielen Dank schonmal im Vorraus

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alestorm

- 34
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Geschrieben am: 22.10.2012 um 15:57 Uhr
Zuletzt editiert am: 22.10.2012 um 15:58 Uhr

Die Formel gilt ebenso auch für Funktionen dritten Grades.

Ich hab mal eine kleine Beispielrechnung gemacht mit einer von mir zufällig gewählten Funktion:

Deine Formel:

lim ( f(x0+h) - f(x0) )/ h
h->0

Funktion dritten Grades:

f(x) = x3+x2+x+3

Gegebener Punkt zur Bestimmung der "momentanen Änderungsrate" bzw. Punktsteigung:

x0 = 2

Beispielrechnung:

lim ( f(2+h) - f(2) )/ h
h->0

1. Einsetzen in Funktionsgleichung
lim ( (2+h)^3+(2+h)^2+(2+h)+3 - [2^3+2^2+2+3] )/ h
h->0

2. Ausrechnen der Einzelterme
lim ( (8+8h+2h^2+4h+4h^2+h^3)+(4+4h+h^2)+(2+h)+3 - [2^3+2^2+2+3] )/ h
h->0

3. Zusammenfassen
lim (17h + 7h^2 + h^3)/ h
h->0

4. h kürzen und Limes anwenden
lim (17 + 7h + h^2) = 17
h->0

Die Punktsteigung ist für meine obige Funktion im Punkt 2 also 17.

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sanc

- 29
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Geschrieben am: 23.10.2012 um 01:02 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.10.2012 um 01:07 Uhr

Wäre es nicht einfacher, wenn man die Ableitung der Funktion bestimmt und diese dann in die Formel einsetzt? Dann hätte man ja wieder eine Funktion 2. Grades

--> 3x^2 + 2x + 1
Für die x den x0 Wert 2 einsetzen
3*2^2 + 2*2 + 1 = 17

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alestorm

- 34
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Geschrieben am: 23.10.2012 um 04:23 Uhr

Richtig. Es kommt auf genau das selbe Ergebnis ob man es nun per Limes-Definition direkt berechnet oder erst die Ableitung bestimmt und dann die Stelle einsetzt, an der die Punktsteigung berechnet werden soll.

Allerdings muss man bei den Aufgabenstellungen eben dahin gehend aufpassen, dass man auch tut was gefordert ist. Häufig wird ausdrücklich der Rechenweg mit Hilfe des Limes gefordert.

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entili

- 61
Experte (offline)

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1294 Beiträge

Geschrieben am: 23.10.2012 um 10:54 Uhr

Zitat von alestorm:

Eben. Ich habe nämlich zur Zeit eine Nachhilfeschüler vom Schubart; die Armen mussten das auf diese entsetzlich lange Weise rechnen, und der Junge war relativ entsetzt, als ich ihm die Ableitungen gleich sagte.

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