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Matheproblem Komplexe Zahlen

6utterfly

- 33
Halbprofi (offline)

Dabei seit 12.2009
119 Beiträge

Geschrieben am: 17.11.2011 um 14:10 Uhr
Zuletzt editiert am: 17.11.2011 um 15:02 Uhr

Hey Community,
häng grad an einer Matheaufgabe mit komplexen Zahlen (und nein es ist keine Hausaufgabe!)
und war lautet die Aufgabe z^3=1/27j
ich versuch schon ne halbe Ewigkeit ρ und φ zu bestimmen, komm aber immer wieder nicht weiter. hat von euch jemand eine Ahnung wie man das hier am besten macht?

Freu mich schon auf sinnvolle Antworten.

edit: hab bemerkt das ich die klammern vergessen habe mit zu schreiben, wodurch es hier natürlich zu einem missverständnis kommt es ist z^3= (1/27)j

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Warte nicht auf den perfekten Moment ! Nimm einen Moment und mach ihn Perfekt.

---Tobi

- 38
Profi (offline)

Dabei seit 10.2004
445 Beiträge

Geschrieben am: 17.11.2011 um 14:57 Uhr
Zuletzt editiert am: 17.11.2011 um 22:00 Uhr

hi!

den anfang macht die ditte wurzel aus dem betrag:
|z| = |(1/27*j)|^(1/3) = 1/3

und dann hast du 3 Lösungen mit

e^(j*0*2*pi/3 + j*3*pi/2)*|z| = -j1/3

e^(j*1*2*pi/3 + j*3*pi/2)*|z| = -j1/3 * (-1/2+j*sqrt(3)/2)

e^(j*2*2*pi/3 + j*3*pi/2)*|z| = -j1/3 * (-1/2-j*sqrt(3)/2)

siehe auch: Formel von Moivre

phi ist demnach 0*2*pi/3 + 3*pi/2, 1*2*pi/3 + 3*pi/2 und 2*2*pi/3 + 3*pi/2

lg
tobi

//edit: da war natürlich nen Fehler drin - jetzt müsste es stimmen :-)

//edit2: Sandmanns Lösung ist korrekt: ich habe mein Faktor -j = e^(j*2*pi*3/4) vergessen. Das hat zur Folge, dass phi falsch ist bei mir.

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TheSandmann

- 36
Experte (offline)

Dabei seit 04.2006
1363 Beiträge

Geschrieben am: 17.11.2011 um 17:10 Uhr

z^3= (1/27)j
z = 3te Wurzel aus (1/27)j = ((1/27)j)^(1/3)

Länge des komplexen Zeigers:

sqrt(0^2+(1/27)^2)^(1/3) = (1/3)

Winkel Phi:

tan((1/27)/0) = pi/2 --> da wir uns im ersten Quadranten der Gauß´schen Zahlenebene befinden.

Daraus bilden wir die Komplexe Zahl als e-Funktion:

Zusammensetzung:

Länge des Zeigers "r"
e Funktion "e"
Alle möglichen Winkel Phi im Exponent in Abhängigkeit von k

daraus folgt:

r*e^phi mit phi (pi/2+2k*pi)/3 für k = 0;1;2
und mit r =(1/3)

sprich im gesamten:

z = (1/3)*e^(j*(1/6)*pi+(2/3)*k*pi)

für k = 0;1;2

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wenn 2*3 10, und 4*8 48 ist, wie viel ist dann 3*7?

sweet_onion

- 28
Fortgeschrittener (offline)

Dabei seit 12.2008
43 Beiträge

Geschrieben am: 27.11.2012 um 21:13 Uhr

ich hab auch n problem mit komplexen zahlen.
ich weiß das is jetzt viell. n bisschen peinlich aber ich komm einfach nich drauf warum i^3 = -i is!
ich meine i^3 is ja √(-1) x √(-1) x√(-1) und wenn mich meine erinnerungen an die 8. klasse nicht ganz täuschen darf man doch schreiben: √(-1) x (-1) x (-1)
aber -1 x -1 is 1 mal -1 gibt -1! also müsste das ergebnis ja lauten √(-1) also i
aber sämtliche taschenrechner geben -i als ergebnis an!
WIESO??!
ich komm einfach nich drauf wo mein fehler liegt!

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life is short----eat dessert first!!

Rifleman

- 40
Experte (offline)

Dabei seit 09.2003
1540 Beiträge

Geschrieben am: 28.11.2012 um 13:15 Uhr

Zitat von sweet_onion:

ich meine i^3 is ja √(-1) x √(-1) x√(-1) und wenn mich meine erinnerungen an die 8. klasse nicht ganz täuschen darf man doch schreiben: √(-1) x (-1) x (-1)

Das ist der Fehler. Für komplexe Zahlen gilt dieses einfache Rechengesetz für Wurzeln nicht.

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Es sind die kleinen Dinge, die einen zum Wahnsinn treiben.

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