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Bestimmung von Funktionsgleichungen (aus Bedingungen)

Analogfan82

- 41
Champion (offline)

Dabei seit 09.2006
2036 Beiträge

Geschrieben am: 16.01.2016 um 21:39 Uhr

Ich habe hier einen weiteren Aufgabenbereich der für mich im Moment ein Buch mit sieben Siegeln darstellt:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f 3. Grades hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur X-Achse (folglich muss in der ersten Ableitung m = 0 sein?) und in Q(0/2) einen Wendepunkt.

Daneben steht folgender Funktionsterm: f(x) = -x³ + 3x +2

Ich nehme an, das es gilt diesen Funktionsterm rechnerisch zu ermitteln, aber wie setze ich anhand der nur 2 gegebenen Punkte P und Q an?

Vielen Dank.

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Analogfan82

- 41
Champion (offline)

Dabei seit 09.2006
2036 Beiträge

Geschrieben am: 16.01.2016 um 23:55 Uhr
Zuletzt editiert am: 17.01.2016 um 00:10 Uhr

Also, ich bin wie folgt vorgegangen:

Also, ich bin mal so vorgegangen:

zuerst habe ich die Allgemeine Form der Parabel aufgeschrieben und diese abgeleitet:

f(x) = ax³ + bx² + cx +d

f´(x)= 3ax² +2bx +c

f´´(x) = 9ax +2b

f´´´(x) = 9a + 2b

Anschließend habe ich die Gleichungen ausgerechnet:

für P(1/4): f´(1) = 3a + 2b + c

für Q(0/2): f´´(0) = 9a + 2b

Gleichzeitig gibt mir der Wendepunkt auch den Funktionswert an der Stelle x = 0 an:

f(0) = a + b + c + d = 2

Dann LGS:

| a + b + c + d = 2 |
| 3a + 2b + c = 4 |
| 9a + 2b = 4 | *(-1) 2 +3

a + b + c + d = 2
3a + 2b + c = 4
-6a..............= 6 ::::::|> a = -1

und ab jetzt komme ich nicht auf b und d -.-

Wenn ich weiterrechne komme ich auf folgenden Stand:

(-1 für a einsetzen):

b + c + d = 3 |
2b + c = 1 |

und ab jetzt komme ich nicht mehr weiter.

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Jon94

- 29
Fortgeschrittener (offline)

Dabei seit 03.2008
65 Beiträge

Geschrieben am: 17.01.2016 um 11:11 Uhr
Zuletzt editiert am: 17.01.2016 um 11:17 Uhr

Edit: Ist die 2te Ableitung nicht 6ax+2b? O.o

Deine 3te Ableitung ist falsch, ist nur 6a (nach dem oben)

Ich kann dir nur sagen, dass die Tangentengleichung t=0x+4 ist
Die 2te Ableitung f'(x) muss somit am X-Wert 1 =0 sein, da f'=m von f

Die 3te Ableitung müsste am x-Wert 2 ebenfalls null sein, mit Vorzeichenwechsel, (einfache Nullstelle) da es ja ein WEP von f sein muss

Ich schaffe es im Moment aber ebenfalls nicht, nur eine Variable auf mein Blatt zu bekommen. ...-.-

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_BlackLight_

- 28
Profi (offline)

Dabei seit 07.2015
610 Beiträge

Geschrieben am: 17.01.2016 um 11:51 Uhr

Zitat von Analogfan82:

f(x) = ax³ + bx² + cx +d

f´(x)= 3ax² +2bx +c

f´´(x) = 9ax +2b

f´´´(x) = 9a + 2b

Anschließend habe ich die Gleichungen ausgerechnet:

für P(1/4): f´(1) = 3a + 2b + c

für Q(0/2): f´´(0) = 9a + 2b

f´(1) = 3a + 2b + c = 0 (da parallel zur x-Achse -> 1.Ableitung ist 0)
f''(0) = 6a*0+2b = 2b = 0 (da Wendepunkt)
deine weiteren Rechnungen verwirren mich gerade ein bisschen

Zitat:

Gleichzeitig gibt mir der Wendepunkt auch den Funktionswert an der Stelle x = 0 an:

f(0) = a + b + c + d = 2

sollte das nicht eher f(0) = d = 2 heißen?
bzw. f(1) = a + b + c + d = 4
Irgendwie hast du die beiden Gleichungen miteinander kombiniert, daher sind es auch nur 3 Gleichungen geworden (und damit ein unterbestimmtes GS).
Probier's also mal mit
f(0) = d = 2
f(1) = a + b + c + d = 4
f´(1) = 3a + 2b + c = 0
f''(0) = 2b = 0

ergibt dann
d = 2, b= 0, a = -1, c = 3
-> f(x) = -x^3 + 3x + 2

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