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Die Lösung fängt doch irgendwie so an:
- Bei seiner ersten Wahl hat er eine Trefferquote von 33%. Nachdem der Moderator eine Tür geöffnet hat, erhöht sich die Trefferquote auf 50%.
Aber wie geht's weiter???

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er soll sich umentscheiden und die dritte aufmachen, dann hat er ne bessere chance!!!!! und ich kann das auch erklären, wenn es jemand nicht glaubt

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Lösung und Erklärung

Auch wenn viele Menschen dazu neigen, davon auszugehen, dass es keinen Unterschied zwischen dem Torwechsel oder dem Verharren auf der getroffenen Entscheidung gäbe, ist diese Annahme falsch. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zuerst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn von den beiden Toren, auf die zusammengenommen die Wahrscheinlichkeit 2/3 zutrifft, dasjenige mit der Niete geöffnet wird, verbleibt die höhere Wahrscheinlichkeit von 2/3 allein auf dem letzten Tor. Das vom Kandidaten am Anfang ausgewählte erste Tor dagegen bleibt jedoch bei der Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto.

Faktisch hat nämlich das bloße Öffnen eines der beiden verbliebenen Tore mit einer Niete dahinter keinerlei Auswirkungen auf die Gewinnwahrscheinlichkeit. Der Moderator beweist dem Kandidaten durch das Öffnen nur, dass hinter mindestens einem der beiden verbliebenen Tore eine Niete steckt. Das wusste der Kandidat bei drei Toren und zwei Nieten aber schon vorher. Also bietet der Moderator lediglich an, dass der Kandidat durch einen Tor-Wechsel das Auto dann bekommt, wenn es hinter einem beliebigen der zwei verbliebenen Tore steckt. Statt einem Tor darf der Kandidat nun also auf Wunsch faktisch zwei Tore auf einmal auswählen - dies verdoppelt natürlich die Gewinnchance.

Um die Lösung zu verstehen, muss man bedenken, dass die Chance auf einen Gewinn hinter dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändert – unabhängig ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht –, andererseits beträgt die Wahrscheinlichkeitssumme aller Auswahlmöglichkeiten 3/3, also 1. Oder anders: In 2/3 aller Fälle hat der Kandidat eine Tür mit einer Ziege ausgewählt. Der Moderator muss auf jeden Fall eine Tür mit einer Ziege öffnen. Das heißt, dass in 2/3 aller Fälle die verbliebene Tür den Preis enthält. Daher ist ein Wechsel strategisch stets sinnvoll.

In einem Satz: Kann man durch eigene Wahl nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 erreichen, verbleiben nach Aufzeigen der Niete die anderen 2/3 beim dritten Tor, welches man wählen sollte.



Mehrere Türen

Um die richtige Lösung zu veranschaulichen, wird die Problemstellung gelegentlich auf eine höhere Anzahl von Türen übertragen, zum Beispiel 100. Die Regeln des n-Türen-Problems (n = 3 oder größer) sind:

* Der Kandidat wählt eine Tür aus.
* Der Moderator öffnet alle bis auf eine der verbleibenden Türen, im Spiel befinden sich also nur noch ein Gewinn und eine Niete.
* Der Kandidat erhält die Möglichkeit, die Tür zu wechseln.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass der Kandidat bei 100 Türen nur mit 1%iger Wahrscheinlichkeit zunächst den Gewinn wählt. Der Gewinn befindet sich also fast immer hinter der anderen Tür. Genauer: wenn der Kandidat konsequent die Tür wechselt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gerade die Wahrscheinlichkeit, ursprünglich eine Niete zu erwischen, also (n-1)/n (bei 100 Türen 99 %, beim ursprünglichen Ziegenproblem 2/3).

Nach dem Öffnen der Türen liegt übrigens dieselbe Situation vor wie beim ursprünglichen Ziegenproblem mit nur 3 Türen. Ein unbedarfter Kandidat könnte hier also wieder argumentieren, dass die Gewinnchance 1/2 ist (da es ja auf die Vorgeschichte nicht ankomme). Dies ist auch korrekt, wenn er einfach nur zufällig eine der beiden verbleibenden Türen wählt, also mal wechselt, mal nicht. Wie eben erläutert, kann er jedoch die Chancen erhöhen, wenn er sein Vorwissen geschickt nutzt.

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