KiLLa-T  - 32
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 12:27 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.02.2013 um 12:28 Uhr
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Hi,
hoffe jemand kann das =)
Suche die Rücktransformierte zur folgenden Funktion:
f(s) = 12s / (s²+4)²
Die Lösung (laut wolframalpha.com) ist 3tsin(2t)
Ich komme jedoch auf 6tsin(2t)
Weiß jemand eine Lösung?
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Rifleman - 40
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 13:15 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.02.2013 um 13:24 Uhr
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Wolfram hat Recht. Keine Ahnung, woher du die 6 hast, Rechenweg hast du ja keinen angegeben.
Man kann das leicht einsehen:
d/ds ( -6 / (s² + 4) ) = 12s / (s²+4)² = f(s)
Die Funktion schreit ja geradezu nach einem Integral.
Jetzt kann man schreiben:
-6 / (s² + 4) = -3 * ( 2 / (s² + 2²) )
Der hintere Teil ist eine Standardfunktion:
ILT{ w0 / (s² + w0²) } = e(t) * sin(w0 * t)
e(t) soll dabei die Heavisidefunktion sein.
(d/ds) f(s) transformiert sich zu (-t) x(t) und die LT ist linear, also bekommt man insgesamt:
x(t) = -3*(-t)*e(t)*sin(2t) = 3t*e(t)*sin(2t)
Es sind die kleinen Dinge, die einen zum Wahnsinn treiben.
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KiLLa-T - 32
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 13:29 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.02.2013 um 14:21 Uhr
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Danke für die Antwort, den Rechenweg hätte ich besser posten sollen, sorry dafür.
In der Vorlesung hatten wir die Überschrift "Das Heaviside Kalkül" .. und es kommt der Begriff Heaviside Funktion nicht vor.
Dachte es ist eher ein Schema oder Verfahren ..
Auszug aus der Mitschrift der Vorlesung - Die Rücktransformation wird mit der "Zuhaltemethode" berechnet
Zitat: Idee: Schnelles Rücktransformieren von Mehrfachpolen.
Beispiel
![[verlinkte Grafik wurde nicht gefunden]](http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=11950878&mixmod=mix)
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Rifleman - 40
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 14:52 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.02.2013 um 15:44 Uhr
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Naja, der Heaviside-Kalkül ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit der Laplace-Trafo, nicht zur Berechnung der Rücktransformation.
Hinter der "Zuhaltemethode" steckt nichts anderes als die Partialbruchzerlegung, sprich die Aufspaltung in Pole/Polpaare. Dann nutzt man wieder die Linearität aus, was bedeutet man kann jeden Partialbruch einzeln transformieren und dann addieren. Die Funktion hier hat aber nur ein (doppeltes) komplex konjugiertes Polpaar, also gibts nichts zu tun.
Die Heaviside-Funktion taucht in deinem Skript doch auch auf, wird dort mit epsilon bezeichnet...
/edit: Als Beispiel für die Zerlegung nehm ich mal das Beispiel aus deinem Skript (das ich etwas undurchsichtig finde und das im Ergebnis einen Fehler enthält...)
Die Funktion war (4s+2) / (s²(s+1))
Die Idee ist jetzt, den Bruch in eine Summe einfacherer Brüche aufzuspalten, die die Pole enthalten.
Damit bekommt man die Zerlegung:
(4s+2) / (s²(s+1)) = (2s+1)/s² + (-2)/(s+1) = (2/s) + 2/s² - 2/(s+1)
Jetzt transformiert man jeden Bruch einzeln und bekommt also
2*e(t) + 2t*e(t) - 2e^-t e(t) = e(t) * ( 2 + 2t + 2e^-t )
Es sind die kleinen Dinge, die einen zum Wahnsinn treiben.
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BScorpy2
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 16:53 Uhr
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Was ist aus mir geworden^^ ich verstehe alles o.O
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KiLLa-T - 32
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 17:38 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.02.2013 um 17:41 Uhr
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Zitat von Rifleman: Naja, der Heaviside-Kalkül ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit der Laplace-Trafo, nicht zur Berechnung der Rücktransformation.
Hinter der "Zuhaltemethode" steckt nichts anderes als die Partialbruchzerlegung, sprich die Aufspaltung in Pole/Polpaare. Dann nutzt man wieder die Linearität aus, was bedeutet man kann jeden Partialbruch einzeln transformieren und dann addieren.
Das ist mir klar ..
Zitat von Rifleman: Die Heaviside-Funktion taucht in deinem Skript doch auch auf, wird dort mit epsilon bezeichnet...
Es war bzw. ist in der Vorlesung nie die Rede von einer Heaviside Funktion gewesen, deshalb die Behauptung es gäbe keine Funktion ^^
Zitat von Rifleman: /edit: Als Beispiel für die Zerlegung nehm ich mal das Beispiel aus deinem Skript (das ich etwas undurchsichtig finde und das im Ergebnis einen Fehler enthält...)
Das kann ich nicht nachvollziehen, die Lösung [ 2+2t-2exp(-t) ] e(t) ist korrekt, sagt auch Wolfram =)
/edit:/ ich glaub du meintest, dass es nicht exp(-2t) sondern exp(-t) .. das war ein Fehler meinerseits!
Ansonsten bleibt noch eins ..
Danke =)
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Rifleman - 40
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 17:45 Uhr
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Zitat von KiLLa-T: Es war bzw. ist in der Vorlesung nie die Rede von einer Heaviside Funktion gewesen, deshalb die Behauptung es gäbe keine Funktion ^^
Verstehe ich nicht. Die steht doch da. Oder wie nennt ihr das epsilon(t) im Skript?
Zitat von KiLLa-T:
/edit:/ ich glaub du meintest, dass es nicht exp(-2t) sondern exp(-t) .. das war ein Fehler meinerseits!
Ja, das war gemeint.
Es sind die kleinen Dinge, die einen zum Wahnsinn treiben.
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KiLLa-T - 32
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 17:47 Uhr
Zuletzt editiert am: 23.02.2013 um 17:47 Uhr
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Das wurde immer Abschneidefunktion genannt.
Dann weiß man, dass es sich um Laplace handelt und z. B. Einschaltvorgänge.
Im Kapitel mit DGLs lässt man das weg, da dort der Bereich für t<0 auch gültig ist.
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Rifleman - 40
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 17:51 Uhr
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Zitat von KiLLa-T: Das wurde immer Abschneidefunktion genannt.
Dann weiß man, dass es sich um Laplace handelt und z. B. Einschaltvorgänge.
Im Kapitel mit DGLs lässt man das weg, da dort der Bereich für t<0 auch gültig ist.
Genau, das hat mit der Kausalität zu tun.
Und das Ding ist eben die Heaviside-Funktion, aber gut, muss man wohl nicht unbedingt so nennen 
Es sind die kleinen Dinge, die einen zum Wahnsinn treiben.
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KiLLa-T - 32
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Geschrieben am: 23.02.2013 um 17:59 Uhr
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Wieder was gelernt =)
Über PBZ zu lösen ist kein Problem, nur manchmal steht da zusätzlich noch, man soll es mit dem Heaviside Kalkül lösen und nicht auf herkömmlichem Weg mit PBZ .. wobei Heaviside Kalkül ja PBZ ist, nur schneller =)
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